Matematikai és logikai fejtörők

2. Hűtlen asszonyok

Megoldás

Egy faluban a férfiak megelégelik asszonyaik hűtlenkedéseit és úgy határoznak, hogy véget vetnek ennek. A következő szabályokat beszélik meg:
1. ha valaki rájön, hogy megcsalja a felesége, azonnal kiteszi a szűrét
2. minden nap egyszer találkoznak és akkor közlik, ha rájöttek, hogy a feleségük megcsalja őket
3. nem szólnak egymásnak, a feleségeik viselt dolgairól
Továbbá minden férfi tudja a többi feleségéről, hogy megcsalja-e a férjét.
A 11. napon minden hűtlen feleséget kirúgnak. Hány asszony volt hűtlen a férjéhez?

3. Osztozkodnak a kalózok

Megoldás

10 kalóz zsákmányolt 100 aranytallért. Van köztük egy kegyetlenségi sorrend. Először a legkegyetlenebb tesz javaslatot a zsákmány elosztására (kinek mennyit). Ezután szavaznak, arról, hogy elfogadják-e a javaslatot. Ha nem fogadják el, akkor megölik a javaslattévőt és a következő tesz javaslatot. Mi fog történni, ha a következő axiómák teljesülnek:
- elsősorban túlélésre törekszenek
- a lehető legtöbb pénzt akarják megszerezni
- ha a korábbi kettő teljesülése több alternatívát enged, akkor legyen minél több hulla
- az ajánlat elfogadásához elég 50% igen szavazat
(Megjegyzés: a feladat kiírható b) >50%, c) >=2/3 ill. d) >2/3 szavazati arányokkal is!)

4. 100 ember fekete-fehér sapkában

Megoldás

100 ember fejére egy-egy fekete vagy fehér sapkát adunk. Semmilyen jelzést nem adhatnak egymásnak, de mindenki körülnézhet, tehát a sájátján kívül mindenkiről tudja, hogy milyen színű sapka van a fején. Ezek után sípszóra mindenkinek fel kell emelnie a bal vagy a jobb kezét. El tudják-e érni, hogy az azonos színű sapkát viselő emberek azonos kezüket emeljék fel? (Mielőtt a sapkát kapják összebeszélhetnek!)

5. Törpék sapkában

Megoldás

A király magához hivatja tudós törpéit és gonosz játékot játszik velük. Mindegyik fejére tesz egy sapkát. Vagy pirosat, vagy zöldet, vagy kéket. Egymás elé állítja őket úgy, hogy mindegyik látja az összes előtte állót és mindegyik hallja, amit a másik mond. Feladatuk a következő: Meg kell mondania minden törpének, hogy rajta milyen színű sapka van. (A tippeket valamilyen sorrendben egymás után kell mondaniuk.) Ha valamelyik elrontja, akkor börtönbe kerül. Milyen stratégiát beszéljenek meg a játék előtt, hogy a lehető legkevesebb törpe senyvedjen utána börtönben?

6. Kapcsoló a börtönben

Megoldás

Adott egy börtön, melyben a cellák hermetikusan elzártak, a cellák közt semmilyen kommunikáció nem lehetséges. Bekerül a börtönbe x db rab. A rabok együtt érkeznek és ismerik a börtön adottságait. A börtönőrök viszik sétálni a rabokat, naponta akár többet is, de teljes véletlenszerűséggel. Egy nap akár egy rabot többsör is levisznek, de lehet olyan rab aki akár egy hónapig, vagy tovább nem sétál. Egyszerre egy rab sétál. Az udvaron van egy kapcsoló, melynek két állása van, A és B (a kapcsoló eredetileg az A állásban van). A rabok ezzel a kapcsolóval kommunikálhatnak: a séta alatt átkapcsolhatják. A börtönőrök nem nyúlnak a kapcsolóhoz. A rabok akkor szabadulnak ki, ha valamelyik rab kijeleni, hogy: "Már minden rab volt legalább egyszer sétálni!" és a kijelentés IGAZ. Ha a kijelentés nem igaz, soha többé nem szabadulnak ki. Tehát csak egyszer lehet ilyen kijelentést tenni. Hogyan szabadulhatnak ki?

7. Melyik ajtót válasszam?

Megoldás

Rabságban senyvedünk a szultán udvarában. A következő ajánlatot teszi a szultán: választanunk kell két ajtó közül. Az egyik mögött a szabadság, a másik mögött két éhes oroszlán vár. Egyet kérdezhetünk az őröktől az ajtókkal kapcsolatban és utána döntenünk kell. Egy bökkenő azért van. Az egyik őr mindig hazudik, a másik mindig igazat mond, de nem tudjuk, melyik melyik. Mit kérdezzünk az egyik őrtől, hogy lehetőleg ép bőrrel megússzuk?

8. Milyen színű a medve?

Megoldás

Egy vadász elindul délnek és megy 100 métert, utána keletre fordul és megy 200 métert, majd ismét 100 métert megy északnak. Ezzel visszaérkezett a kiindulási helyére. Ebben a pillanatban meglát egy medvét és lepuffantja szegényt. Milyen színű volt a medve?

B) verzió (szerző: DeBa): Egy medve elássa a zsákmányolt halacskát. Északra megy 100 métert, mikor rájön, hogy piszkosul megéhezett, úgyhogy megy 100 métert délnek, annak reményében, hogy megeszi az imént zsákményolt halat. A hal azonban sehol. Milyen színű a medve?

C) verzió: A vadász megy 100 métert északra, 100-at keletre, majd 100-at délre, mire visszajut a kiindulási helyére. Ekkor meglát egy medvét és lepuffantja. Ezt én nem veszem be, mondhatnánk rögtön. De miért is?

9. Mikor van a szülinapja?

Megoldás

Egy embernek szülinapja volt és megkérdezték tőle:
- Emlékszik, hogy mit csinált éppen egy évvel ezelőtt?
- Hát erre egészen vétletlenül pontosan emlékszem: Az Északi sarkon voltam éppen és a jégkunyhómból kikandikálva megcsodálhattam a napfelkeltét.
Vajon mikor van az illető szülinapja?

10. Minden kutyának ugyanolyan színű a szeme

Megoldás

Teljes indukcióval belátjuk, hogy minden kutyának egyforma színű a szeme.
n=1-re igaz: Egy kutyának nyilván önmagával ugyanolyan színű a szeme.
Tegyük fel, hogy n db kutyának egyforma színű a szeme. Lássuk be, hogy ekkor n+1 kutyának is egyforma:
Emeljünk ki az n+1 db kutyából egyet, így marad n db kutyánk, amikre tudjuk, hogy az állítás igaz. Most tegyük vissza a kutyát és emeljünk ki egy másikat. A megmaradó n db kutyának egyforma színű a szeme, tehát az először kiemelt kutyának a szeme színe megegyezik a többivel, így mind az n+1 db kutya szeme színe azonos.
A teljes indukció tételét alkalmazva látjuk, hogy minden kutyának azonos a szeme színe.
Hol a hiba a gondolatmenetben?

11. Rózsa Gyuri - fekete macska

Megoldás

Rózsa Gyuri felajánl három ajtót. Egy mögött ajándék lapul, a másik kettő mögött semmi. Megfogjuk az egyik ajtó kilincsét és ekkor Gyuri bácsi megmutat a másik két ajtó közül egy üreset. Ezután választhatunk, hogy maradunk az eredeti választásnál, vagy inkább a másik ajtóhoz térünk át. Melyiket válasszuk? Van-e egyáltalán esélybeli különbség?

12. Einstein feladványa

Megoldás

Ezt a feladatot Einstein írta. Azt mondta, hogy az emberek 98%-a nem tudja megoldani. Te a 2%-ban vagy?

Tények:
1. 5 ház van, különböző színüek.
2. Minden házban él egy-egy ember, mindegyik más nemzetiségű.
3. Az öt tulajdonos különböző italokat fogyaszt, különféle cigit szív és más-más állatot tart.
4. Nincs két olyan tulajdonos aki ugyanazt az állatot tartaná, ugyanazt a cigit szívná, vagy ugyanazt az italt inná.

1. A brit a piros házban lakik.
2. A svéd kutyát tart.
3. A dán teát iszik.
4. A zöld ház a fehér ház bal oldalán van.
5. A zöld ház tulajdonosa kávét iszik.
6. Az a személy aki Pall Mall-t szív madarat tart.
7. A sárga ház tulajdonosa Dunhill-t szív.
8. Az az ember aki a középső házban lakik tejet iszik.
9. A norvég az első házban lakik.
10. Az ember aki Blend cigit szív amellett lakik aki macskát tart.
11. Az az ember aki lovat tart amellett lakik aki Dunhill cigit szív.
12. A tulaj aki Blue Mastert szív, sört iszik.
13. A német Prince-t szív.
14. A norvég a kék ház mellett lakik.
15. Az ember aki Blend-et szív, a vizet ivó ember szomszédja.

A kérdés: Melyik tart halat?

13. A kecske, a káposzta, no meg a farkas

Megoldás

Van egy folyó, amin át kellene kelnünk. Adott egy csónak is, amiben egyszerre csak egy dolgot vihetünk magunkkal a túlpartra. A feladat az, hogy átvigyük a kecskét, a káposztát, no meg a farkast. A probléma ott van, hogy ha magára hagyom a kecskét a káposztával, akkor a káposztának annyi. Hasonlóan a farkas is megeszi a kecskét, ha nem vagyunk ott. Hogyan vigyük át őket, hogy mind megmaradjanak (egyben)?

14. Sötétben egy lámpával

Megoldás

Besötétedett és csak egy lámpa van a túrázóknál. Egy függőhídhoz érkeztek, amin egyszerre max. két ember mehet át. Négyen vannak és rendre 1, 2, 5 ill. 10 percre van szükségük, hogy átmenjenek a hídon. Milyen sorrendben menjenek át, ha a lehető leggyorsabban szeretnék lekűzdeni az akadályt és minden átkeléshez lámpára van szükségük?

15. Hol van most az apuka?

Megoldás

Egy anyuka most 21 évvel idősebb a gyerekénél. 6 év múlva az anyuka pontosan 5-ször annyi idős lesz, mint a gyereke. Kérdés: Hol van most az apuka?

16. Serpenyős méricskélős feladatok

Megoldás

A) 9 látszólag egyforma érme közül az egyik hamis: nehezebb a többinél. Hány méréssel lehet a hamis érmét egy kétkarú mérleg segítségével megtalálni? És n érme esetén?

17. Kannibálok és misszionáriusok

Megoldás

3 kannibál és 3 misszionárius egy folyó partján találja magát. Látnak egy csónakot, de az csak kétszemélyes. Tudjuk, hogy ha több kannibál van egy helyen mint misszionárius, akkor bizony nem vetik meg a finom misszionárius husit (nyam-nyam). Hogyan szervezzük meg az átkelést, hogy a misszionáriusok egyben maradjanak?
Ha nincs nálad papír, próbálkozz ezzel a programmal! Érdemes :)
Ez pedig egy hasonló játék.

18. Öntögessük a vizet!

Megoldás

A) Van egy csap, amiből folyamatosan folyik a víz, van egy 5 literes és egy 3 listeres edényünk. A cél, hogy az 5 literes edényben a végén pontosan 4 liter víz legyen. Megengedett műveletek: edény teletöltése; áttöltés másik egyénybe annyit, amennyi az edénybe fér, vagy annyit, amennyi a forrásedényben van; edény ürítése.

19. A kapu

Megoldás

Egy barlang hatalmas kincset rejt. Azonban a kincset egy varázslatos kapu őrzi. Ezen a kapun van egy zár. Ez a zár egy korong, rajta 4 lyukkal (az ábrán látható módon). A lyukakban van egy-egy kétállású kapcsoló. Egyszerre két lyukba nyúlhatunk bele és a benne lévő kapcsolókat külön-külön átbillenthetjük, ha akarjuk. A kapcsoló állását meg tudjuk állapítani, ha belenyúlunk egy lyukba. Miután kihúztuk a kezeinket a lyukakból, a varázslatos kapu őrült sebességgel megpörgeti a korongot úgy, hogy utána nem tudjuk már, melyik lyukba nyúltunk előtte. Akkor fog a kapu kinyílni, ha minden kapcsoló ugyanolyan állásba került.
A kérdés az, hogy meg tudjuk-e szerezni a kincset, és ha igen, akkor hány lépésben?

20. Kapd el a bolhát!

Megoldás

Egy bolhát elejtettünk egy Descartes féle koordinátarendszer fölött. A szerencsétlen meg akar szökni, de nem túl szellemes így az elején választ egy irányt (É, D, K vagy Ny) és azután csak abban az irányban halad, valamint tudjuk, hogy minden időegységben egy szomszédos rácspontra ugrik át. Szeretnénk ismét befogni! Ennek érdekében minden időegységben választhatunk egy rácspontot és ha a bolha pont azon a rácsponton tanyázik, akkor befogtuk, ha nem, akkor tovább próbálkozhatunk. Be tudjuk-e fogni a bolhánkat, vagy inkább keressünk egy kutyát?
(Ha nagyon nem megy, akkor pár tipp:
1. Egyszerűsítsd a feladatot úgy hogy mondjuk biztosan É-nak indul a bolha
2. Ha így sem megy, akkor próbáld koordinátarendszer helyett számegyenessel
3. Ha még így is nehéz, akkor próbáld számegyenesen egy adott iránnyal
4. A legegyszerűbb forma, ha csak fél számegyenessel dolgozol (0, 1, 2, ...) és a bolha valahonnan indulva fölfelé ugrál a számokon)

21. Törpék sapkában 2.

Megoldás

Egy gonosz hatalom aljas játékot játszik három törpével: Mindegyik fejére 50-50% valoszínűséggel piros, illetve kék sipkát tesz (egymástól függetlenül). A törpék nem látják saját sipkájukat, csak a másik kettőt, és nem kommunikálhatnak egymással semmilyen formában. Mindegyikőjüknek a gonosz hatalom pribékjének a fülébe kell súgnia a tippjét a sajat sipkajának színéről. Három féle válasz közül választhatnak: piros, passz, kék. Ha mindegyik törpe passzol, akkor a pribék kivégzi őket. Ha valamelyikük rosszul tippel, akkor is végük van. Akkor, és csak akkor maradnak életben, ha legalább az egyikük jól tippel, és senki sem tippel rosszul. Segíts a törpéknek, javasolj nekik optimális strategiat!
(Ha úgy érzed, hogy megoldottad a feladatot és a javasolt stratégiád alapján 50%, vagy annál kevesebb esélyük van a túlélésre, akkor gondolkozz még!)

22. Hozd ki a 100-at!

Megoldás

Rendelkezésedre áll 0-9 minden számjegyből egy példány, valamint tetszőleges számú '+' jel. A '+' jelek, valamint az összes számjegy egyszeri felhasználásával alkoss egy kifejezést, aminek az eredménye éppen 100!

23. Égesd a kötelet!

Megoldás

Kapsz két kötelet, amikről tudod, hogy ha meggyújtod a végét, akkor éppen 1 óra alatt ég végig, valamint nem hajtogathatók. Nincs nálad óra, a feladatod az, hogy mérj ki negyed órát.